В настоящей статье рассматривается задача на собственные значения оператора дифференцирования, когда спектральный параметр также присутствует и в краевом условии с интегральным возмущением, где подынтегральная функция обладает свойством ограниченной вариации и на концах отрезка [–1,1] имеет значение единица. В краевое условие входящие производные по временной переменной естественным образом возникают при решении (методом Фурье) начально-краевых задач для эволюционных уравнений. Построен сопряженный оператор. Показано, что спектральные вопросы сопряженного оператора имеют аналогичную структуру. Построен характеристический определитель исходной прямой спектральной задачи с интегральным возмущением краевого условия и для задачи на собственное значение нагруженного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке с периодическим краевым условием, которое является целой аналитической функцией от спектрального параметра. На основе формулы характеристического определителя делаются выводы об асимптотике спектра исходного «возмущенного» оператора дифференцирования и нагруженного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке. Особенностью рассматриваемого оператора является несамосопряженность оператора в L2(–1,1).
Доказывается квадратичная близость систем собственных функций «невозмущённой» и «возмущённой» операторов дифференцирования и базисность Рисса этих систем. При этом система собственных функций «возмущенного» оператора не является ортонормированным.
Ключевые слова: квадратичная близость, базис Рисса, ортонормированность, оператор, возмущение, нагруженный.
